Inégalité à partir d'une représentation graphique

1. Construire avec GeoGebra la courbe représentative de la fonction $f:x\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{x}}$ , définie sur $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$ .

2. a. En utilisant GeoGebra,  déterminer $f^{\prime }(1)$ .

     b. En déduire l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à  $mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a=1$ .

     c. Construire $\mathcal{T}$ sur le même graphique que $mathcal{C}_f$ .

3. En observant le graphique, que peut-on dire de la position relative de $mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{T}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$  ?

4. En déduire que, pour tout $x>0$ , $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}⩾2$ .